Решение задач закон больших чисел

Основными понятиями теории вероятностей являются понятия случайного события и случайной величины. При этом предсказать заранее результат испытания, в котором может появиться или не появиться то или иное событие или какое-либо определенное значение случайной величины, невозможно, так как исход испытания зависит от многих случайных причин, не поддающихся учету.

Однако при неоднократном повторении испытаний наблюдаются закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Эти закономерности обладают свойством устойчивости. Суть этого свойства состоит в том, что конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений, а характеристики случайных событий и случайных величин, наблюдаемых в испытаниях, при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически не случайными.

Пусть производится большая серия однотипных опытов. Исход каждого отдельного опыта является случайным, неопределенным. Однако, несмотря на это, средний результат всей серии опытов утрачивает случайный характер, становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел.

Под законом больших чисел не следует понимать какой-то один общий закон, связанный с большими числами. Закон больших чисел — это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли — простейшим.

В основе доказательства теорем, объединенных термином «закон больших чисел», лежит неравенство Чебышева, по которому устанавливается вероятность отклонения от ее математического ожидания:

Пример 81. Устройство состоит из 100 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время равна 0,03. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом (математическом ожиданием) отказов за время окажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.

Решение. а). Обозначим через число отказавших элементов за время . Тогда [] = np = 100 ? 0,03 = 3 и [] = npq = 100 ? 0,03 ? 0,97 = 2,91 (см. пример ). Воспользуемся неравенством Чебышева:

подставив в него [] = 3, [] = 2,91, = 2, получим

б). События и противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно,

Пример 82. Оценить вероятность события [] 0?

168. Каждая из 1000 независимых случайных величин имеет дисперсию, равную 4, а математические ожидания их одинаковы. Оцените вероятность того, что среднее арифметическое случайных величин отклонится от математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 0,1.

III 169. Применима ли к последовательности случайных величин , , . , . имеющих равномерное распределение в промежутке ][, теорема Чебышева?

170. Пусть > 0 — неубывающая функция. Доказать, что если существует [ ([]], то

cito-web.yspu.org

Решение задач закон больших чисел

Получим в качестве следствия из ЗБЧ Чебышёва закон больших чисел
Бернулли. В отличие от ЗБЧ Чебышёва, описывающего предельное поведе-
ние среднего арифметического случайных величин с произвольными распре-
делениями, ЗБЧ Бернулли—утверждение только для схемы Бернулли.

Т е о р е м а (ЗБЧ Бернулли). Пусть νn —число успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p.

Тогда При этом для любого ε > 0

или в эквивалентной форме

П р и м е р 1. Правильная монета подбрасывается 10000 раз. Оценим
вероятность того, что число гербов отличается от 5000 менее, чем на 100.
Пусть νn —число гербов, выпавших в n = 10000 испытаниях. Нужно
оценить вероятность события.

Пример 2. Оценим вероятность того, что при подбрасывании игральной кости 300 раз относительная частота появления шести очков отклонится от вероятности этого события не более чем на 0,01.

Решение. Для оценки события применим неравенство из доказательства теоремы Бернулли, где

Пример 3. Вероятность того, что изделие является качественным, равна 0,9. Сколько следует проверить изделий, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95 можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения доли качественных изделий от 0,9 не превысит 0,01?

По условию , , . Подставим в правую часть вышеприведенного неравенства эти значения

.

Ответ: .

Пример 4. При контрольной проверке изготавливаемых приборов было установлено, что в среднем 15 шт. из 100 оказывается с теми или иными дефектами. Оценить вероятность того, что доля приборов с дефектами среди 400 изготовленных будет по абсолютной величине отличаться от математического ожидания этой доли не более чем на 0,05.

Решение. Воспользуемся неравенством

.

По условию , . В качестве Р возьмем величину, полученную при проверке для доли брака .

Итак, .

Ответ: .

www.reshim.su

4. Закон больших чисел

При ознакомлении с результатами проведения серии одиНАковых испытаний мы отмечали, что число появлений случайного события при небольшом количестве испытаний не подчиняется той закономерности, которая соответствует объективной возможности (т. Е. вероятности его появления в отдельном испытании). Однако с ростом числа испытаний такая закономерность начинает проявляться и чем дальше, тем ярче.

Аналогичный результат имеет место и в применении к случайной величине.

Здесь отдельные значения случайной величины могут значительно отклоняться от ее среднего значения, но средняя арифметическая большого числа отдельных значений случайной величины уже незначительно отклоняется от ее среднего значения.

Эти факты, проверявшиеся на многократных сериях различных наблюдений, неизменно показывали, что отклонения от закономерностей при отдельных наблюдениях взаимно погашаются по мере возрастания числа наблюдений.

Однако соответствующие результаты, если не вскрыть их природы, дают только внешнее содержание закона больших чисел в виде выражения устойчивого характера частости или значения средней как закономерности, связанной с большим числом наблюдений.

Первые теоремы, посвященные таким результатам, были характерны именно этой своей ограниченностью; построенные на частных вопросах, они не касались тех общих условий, без соблюдения которых рассматриваемая закономерность не имеет места. К тому же небезупречным, уже с позиций позднейших требований строгости, было обоснование построенных выводов.

Вот почему относящиеся к этому вопросу теоремы Бернулли и Пуассона привлекли к себе внимание еще молодого Чебышева, который кардинально обосновал условия их применимости и дал безупречный метод их доказательства.

В результате работ Чебышева, Маркова и Ляпунова, продолженных и развитых Бернштейном, Хинчиным, Колмогоровым, Гнеденко и другими советскими математиками, теоремы, относящиеся к закону больших чисел, приобрели глубокое научное содержаНиЕ и находят свое плодотворное практическое применение в САмых разнообразных отраслях деятельности.

matica.org.ua

Ковариация .

Получили: UиVнезависимы. Тогда

Решение. Математические ожиданияEU=EV= 0, дисперсии:

Пусть в условиях 3) Y= abs[2X1+ 3X2]. Найти функцию распределенияY.

Эскиз решения. Сначала находим функцию распределения 2X1+ 3X2, а затем — дляabs[ · ]. Затем комбинируем.

§17. Неравенство Чебышева

17.1 Вариант с простым доказательством

Доказательство. Введем новую случайную величину

.

По свойствам математического ожидания, E[Y1] ≤EY. Т.к.Y1— дискретная случайная величина, ее математическое ожидание равно

.

Получили: .

17.2 Классический вариант

.

Для доказательстваприменим результат пункта 17.1, где возьмемY= (X–EX) 2 ,δ=ε 2 :

.

§18. Виды сходимости в теории вероятностей

18.1 Сходимость по вероятности

Пусть имеется последовательность случайных величин Xn=Xn(ω). Говорят, что онасходится по вероятностик функцииX(ω), и записывают, если

.

То есть, если вероятность значительных отклонений XnотXстремится к нулю.

18.2 Сходимость с вероятностью 1

Пусть имеется последовательность случайных величин Xn=Xn(ω). Говорят, что онасходится с вероятностью 1 к функцииX(ω), если

.

Ясно, что из сходимости с вероятностью 1 следует сходимость по вероятности, но не наоборот. Иногда вместо слов «сходится с вероятностью 1» употребляют термин «сходится почти наверное».

18.3 Среднеквадратическая сходимость

Пусть имеется последовательность случайных величин Xn=Xn(ω). Говорят, что онасреднеквадратическик функцииX(ω), если

.

§19. Закон больших чисел

19.1 Общая формулировка

Пусть имеется последовательность X1,X2, …,Xnнезависимых случайных величин с математическими ожиданиямиE[Xi] =μ и дисперсиямиD[Xi] =σ 2 (i =1..n). Тогда говорят, что она подчиняетсязакону больших чисел, если

.

studfiles.net

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]

Введение в анализ

Теория очередей (СМО)

Закон больших чисел и предельные теоремы

Вполне естественна потребность количественно уточнить утверждение о том, что в «больших» сериях испытаний частоты появления события «близки» к его вероятности. Следует ясно представить себе известную деликатность этой задачи. В наиболее типичных для теории вероятностей случаях дело обстоит так, что в сколь угодно длинных сериях испытаний остаются теоретически возможными оба крайних значения частоты

Поэтому, каково бы ни было число испытаний [math]n[/math] , нельзя утверждать с полной достоверностью, что будет выполнено, скажем, неравенство

Во всех подобных задачах любая нетривиальная оценка близости между частотой и вероятностью действует не с полной достоверностью, а лишь с некоторой меньшей единицы вероятностью. Можно, например, доказать, что в случае независимых испытаний с постоянной вероятностью [math]p[/math] появления события неравенство

Здесь мы прежде всего хотим подчеркнуть, что в приведенной формулировке количественная оценка близости частоты [math]\frac<\mu>[/math] к вероятности [math]p[/math] связана с введением новой вероятности [math]P[/math] .

Реальный смысл оценки (8) таков: если произвести [math]N[/math] серий по [math]n[/math] испытаний и сосчитать число [math]M[/math] серий, в которых выполняется неравенство (7), то при достаточно большом [math]N[/math] приближенно будет

Но если мы захотим уточнить соотношение (9) как в отношении степени близости [math]\frac[/math] к вероятности [math]P[/math] , так и в отношении надежности, с которой можно утверждать, что такая близость будет иметь место, то придется обратиться к рассмотрениям, аналогичным тем, которые мы уже провели в применении к близости [math]\frac<\mu>[/math] и [math]p[/math] . При желании такое рассуждение можно повторять неограниченное число раз, но вполне понятно, что это не позволит нам совсем освободиться от необходимости на последнем этапе обратиться к вероятностям в примитивном грубом понимании этого термина.

Не следует думать, что подобного рода затруднения являются какой-то особенностью теории вероятностей. При математическом изучении реальных явлений мы всегда их схематизируем. Отклонения хода действительных явлений от теоретической схемы можно, в свою очередь, подвергнуть математическому изучению. Но для этого сами эти отклонения надо уложить в некоторую схему и этой последней пользоваться уже без формального математического анализа отклонений от нее.

Заметим, впрочем, что при реальном применении оценки

к единичной серии из [math]n[/math] испытаний мы опираемся и на некоторые соображения симметрии: неравенство (10) указывает, что при очень большом числе [math]N[/math] серий соотношение (7) будет выполняться не менее чем в 99,99% случаев; естественно с большой уверенностью ожидать, что, в частности, неравенство (7) осуществится в интересующей нас определенной серии из [math]n[/math] испытаний, если мы имеем основания считать, что эта серия в ряду других серий занимает рядовое, ничем особенным не отмеченное положение.

Вероятности, которыми принято пренебрегать в различных практических положениях, различны. Выше уже отмечалось, что при ориентировочных расчетах расхода снарядов, гарантирующего выполнение поставленной задачи, удовлетворяются нормой расхода снарядов, при которой поставленная задача решается с вероятностью 0,95, т. е. пренебрегают вероятностями, не превышающими 0,05. Это объясняется тем, что переход на расчеты, исходящие из пренебрежения, скажем, лишь вероятностями, меньшими 0,01, приводил бы к большому увеличению норм расхода снарядов, т. е. практически во многих случаях к выводу о невозможности выполнить поставленную задачу за тот короткий промежуток времени, который для этого имеется, или с фактически могущим быть использованным запасом снарядов.

Иногда и в научных исследованиях ограничиваются статистическими приемами, рассчитанными исходя из пренебрежения вероятностями в 0,05. Но это следует делать лишь в случаях, когда собирание более обширного материала очень затруднительно. Рассмотрим в виде примера таких приемов следующую задачу. Допустим, что в определенных условиях употребительный препарат для лечения какого-либо заболевания дает положительный результат в 50%, т. е. с вероятностью 0,5. Предлагается новый препарат и для проверки его преимуществ над старым планируется применить его в десяти случаях, выбранных беспристрастно из числа больных, находящихся в том же положении, что и те, для которых установлена эффективность старого препарата в 50%. При этом устанавливается, что преимущество нового препарата будет считаться доказанным, если он даст положительный результат не менее чем в восьми случаях из десяти. Легко подсчитать, что такое решение связано с пренебрежением вероятностью получить ошибочный вывод (т. е. вывод о доказанности преимущества нового препарата, в то время как он равноценен или даже хуже старого) как раз порядка 0,05. В самом деле, если в каждом из десяти испытаний вероятность положительного исхода равна [math]p[/math] , то вероятности получить при десяти испытаниях 10,9 или 8 положительных исходов, равны соответственно

В сумме для случая [math]p=\frac<1><2>[/math] получаем [math]P=P_<10>+P_9+P_8=\frac<56><1024>\approx0,\!05[/math] .

Таким образом, в предположении, что на самом деле новый препарат точно равноценен старому, мы рискуем сделать ошибочный вывод о том, что новый препарат превосходит старый, с вероятностью порядка 0,05. Чтобы свести эту вероятность приблизительно к 0,01, не увеличивая числа испытаний [math]n=10[/math] , пришлось бы установить, что преимущество нового препарата будет считаться доказанным лишь тогда, когда его применение даст положительный результат не менее чем в девяти случаях из десяти. Если это требование покажется сторонникам нового препарата слишком суровым, то придется назначить число испытаний [math]n[/math] значительно большим, чем 10. Если, например, при [math]n=100[/math] установить, что преимущества нового препарата будут считаться доказанными при 65″>[math]\mu>65[/math] , то вероятность ошибки будет лишь [math]P\approx0,\!0015[/math] .

Если норма в 0,05 для серьезных научных исследований явно недостаточна, то вероятностью ошибки в 0,001 или в 0,003 по большей части принято пренебрегать даже в столь академических и обстоятельных исследованиях, как обработка астрономических наблюдений. Впрочем, иногда научные выводы, основанные на применении вероятностных закономерностей, обладают и значительно большей достоверностью (т. е. построены на пренебрежении значительно меньшими вероятностями). Об этом еще будет сказано далее.

В рассмотренных примерах мы уже неоднократно применяли частные случаи биномиальной формулы (6)

для вероятности [math]P_m[/math] получить ровно т положительных исходов при [math]n[/math] независимых испытаниях, в каждом из которых положительный исход имеет вероятность р. Рассмотрим при помощи этой формулы вопрос, поставленный в начале этого параграфа, о вероятности

В связи с рассмотренным примером применения формулы (17) следует отметить, что оценки остаточного члена формулы (17), дававшиеся в теоретических сочинениях по теории вероятностей, долго оставались мало удовлетворительными. Поэтому применения формулы (17) и ей подобных к расчетам при не очень больших [math]n[/math] или при вероятностях [math]p[/math] , очень близких к 0 или к 1 (а такие вероятности во многих случаях и имеют особенно большое значение) часто основывались лишь на опыте проверок такого рода результатов для ограниченного числа примеров, а не на достоверно установленных оценках возможной ошибки. Более подробное исследование, кроме того, показало, что во многих практически важных случаях приведенные выше асимптотические формулы нуждаются не только в оценке остаточного члена, но и в уточнении (так как без такого уточнения остаточный член слишком велик). В обоих направлениях наиболее полные результаты принадлежат С. Н. Бернштейну.

Соотношения (11), (17) и (18) можно переписать в виде

[math]\mathbf

\!\left\<\,\vline\,\frac<\mu>-p\,\vline\, [math]\sigma_<\xi^<(i)>>>0[/math] в 0″>[math]\sigma_<\xi^<(j)>>>0[/math] , то условие (24) равносильно тому, что [math]R=0[/math] .

Коэффициент корреляции [math]R[/math] характеризует степень зависимости между случайными величинами. Всегда [math]|R|\leqslant1[/math] , причем [math]R=\pm1[/math] только при наличии линейной связи

Для независимых величин [math]R=0[/math] .

В частности, равенство (24) соблюдается, если величины [math]\xi^<(i)>[/math] и [math]\xi^<(j)>[/math] независимы между собой. Таким образом, для взаимно независимых слагаемых всегда действует равенство (23). Для средних арифметических

Предположим теперь, что для всех слагаемых дисперсии не превосходят некоторой постоянной

и в силу неравенства Чебышева при любом [math]t[/math]

Неравенство (26) содержит в себе так называемый закон больших чисел в форме, установленной Чебышевым: если величины [math]\xi^<(i)>[/math] взаимно независимы и имеют ограниченные дисперсии, то при возрастании [math]n[/math] их средние арифметические [math]\zeta[/math] , всё реже заметно отклоняются от своих математических ожиданий [math]M(\zeta)[/math] .

Более точно говорят, что последовательность случайных величин

Чтобы получить из неравенства (26) предельное соотношение (27), достаточно положить

Большой ряд исследований А.А. Маркова, С.Н. Бернштейна, А.Я. Хинчина и других посвящен вопросу возможно большего расширения условий применимости предельного соотношения (27), т. е. условий применимости закона больших чисел. Эти исследования имеют принципиальное значение. Однако еще более важным является точное исследование распределения вероятностей отклонений [math]\zeta-M(\zeta)[/math] .

Великой заслугой русской классической школы в теории вероятностей является установление того факта, что при очень широких условиях асимптотически (т. е. со все большей точностью при неограниченно растущих [math]n[/math] ) справедливо равенство

mathhelpplanet.com