Правила на сложение вычитание умножение и деление десятичных дробей

Открытый урок по теме «Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей». 5-й класс

Разделы: Математика

Основная цель: Обобщить и систематизировать полученные знания при выполнении арифметических действий с десятичными дробями.

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Из разрозненных карточек с текстом собрать правила сложения, вычитания, умножения и деления десятичных дробей.

8 + 5,9
9 – 6,4
3,09 + 1,1
0,5 – 0,22
0,35*2
0,7*0,6
2,7:9
6,4:0,08

Ответы : 13,9 ; 2,6 ; 4,19 ; 0,28 ; 0,7 ; 0,42 ; 0,3 ; 80.

(Ответы: 0,22; 1,1; 1,13; 0,339.)

III. Работа по теме урока.

Собственная скорость теплохода 40,35 км\ч, а скорость течения 5,8 км\ч. Найдите скорость теплохода по течению и против течения.

1. 40,35+5,8=46,15 (км\ч) – скорость по течению

2. 40,35-5,8=34,55 (км\ч) – скорость против течения

№ 2. Решить уравнение

Задача № 3 (практической направленности).

Найти длину всех ребер и объем предложенной модели параллелепипеда.

1. Произвести необходимые измерения у модели параллелепипеда

Длина: 13см. 5 мм.

Ширина: 13см. 3мм.

Высота: 30см. 5мм.

2. Перевести полученные данные в десятичные дроби и выполнить необходимые вычисления для нахождения длины всех ребер и объема параллелепипеда.

(13,5+13,3+30,5) *4=229,2 (см) – длина всех ребер.

13,5*13,3*30,5=5476,275 (куб. см) – объем.

IV. Учащимся предложено выбрать номер и его решить из дидактического материала по математике 5 класс (автор: Чесноков, Мешков) стр. 101, после чего в классе проходит обсуждение решенных номеров.

V. Подведение итогов урока.

1. Сформулируйте правила сложения, вычитания, умножения и деления десятичных дробей.

VI. Домашнее задание.

По учебнику Виленкина Н.Я. №№1492(б), 1495, 1517.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

30. Деление десятичных дробей. Правила

Примеры деления десятичных дробей в столбик:

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:

1) разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;
2) поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части.

При делении десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 , . ,
надо перенести запятую в этой дроби влево на столько знаков,
сколько нулей в делителе.

34,9 : 10 = 3,49 ; 746 : 100 = 7,46 ; 28,1 : 1000 = 0,0281 .

При делении на десятичную дробь, сначала переносим запятую в делимом и делителе вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе. А затем выполняем деление на натуральное число.

543,96 : 0,3 = 5439,6 : 3 = 1813,2 ;

237 : 0,03 = 23700 : 3 = 7900 .

Задачи на тему «Деление десятичных дробей»

Выберите числовое выражение, равное исходному:

Выберите подходящую к примеру картинку с выполненным без ошибок делением в столбик.

Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. 54,25 : 2,5 ≠ 1,519 : 0,7 =

Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. 1,519 : 0,7 ≠ Неверно. 137,7 : 0,09 =

Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. 137,7 : 0,09 ≠ Неверно. 137,7 : 0,09 ≠ 39,2 : 0,16 =

Неверно. Не кликай на пустое поле. 5130 : 190 =

Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. Нeвeрнo. Задание выполнено.

Найдите строку с ошибкой.

ошибка в 1 и 2 строке

ошибка в 3 и 4 строке

ошибка в 5 и 6 строке

ошибка в 7 строке Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. ошибка в 3 строке

ошибка в 4 строке

ошибка в 6 строке Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. ошибка в 3 строке

ошибка в 5 строке

ошибка в 6 строке Неверно. Неверно. Неверно. Не кликай на пустое поле. Неверно. Неверно. Неверно. Нeвeрнo. Задание выполнено.

school-assistant.ru

Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей

Сложение и вычитание десятичных дробей аналогично сложению и вычитанию натуральных чисел, но с определенными условиями.

Правило. Сложение и вычитание десятичных дробей производится по разрядам целой и дробной части как натуральных чисел.

При письменном сложении и вычитании десятичных дробей запятая, отделяющая целую часть от дробной, должна находиться у слагаемых и суммы или у уменьшаемого, вычитаемого и разности в одном столбце (запятая под запятой от записи условия до конца вычисления).

Сложение и вычитание десятичных дробей в строку:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 — 700,628 = (800 — 700) + 40 + 3 + (0,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 — 0,6) + (0,01 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 — 0,02) + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 — 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Сложение и вычитание десятичных дробей в столбик:

Сложение десятичных дробей требует верхней дополнительной строки для записи чисел, когда сумма разряда переходит через десяток. Вычитание десятичных дробей требует верхней дополнительной строки для того, чтобы отметить разряд, в котором одалживается 1.

Если справа от слагаемого или уменьшаемого не хватает разрядов дробной части, то справа в дробной части можно дописывать столько нулей (увеличивать разрядность дробной части), сколько разрядов в другом слагаемом или уменьшаемом.

Умножение десятичных дробей производится так же, как и умножение натуральных чисел, по тем же правилам, но в произведении ставится запятая по сумме разрядов множителей в дробной части, считая справа налево (сумма разрядов множителей — это количество разрядов после запятой у множителей, вместе взятых).

При умножении десятичных дробей в столбик первая справа значащая цифра подписывается под первой справа значащей цифрой, как и в натуральных числах:

Запись умножения десятичных дробей в столбик:

Запись деления десятичных дробей в столбик:

Подчеркнутые знаки — это знаки, за которые переносится запятая, потому что делитель должен быть целым числом.

Правило. При делении дробей делитель десятичной дроби увеличивается на столько разрядов, сколько разрядов в дробной его части. Чтобы дробь не изменилась, на столько же разрядов увеличивается и делимое (в делимом и делителе запятая переносится на одно и то же число знаков). Запятая ставится в частном на том этапе деления, когда целая часть дроби разделена.

Для десятичных дробей, как и для натуральных чисел, сохраняется правило: на ноль десятичную дробь делить нельзя!

shkolo.ru

Сложение, вычитание и умножение десятичных дробей

Сложение десятичных дробей

§ 166. Сложение десятичных дробей производится так же, как и сложение целых чисел. Пусть, например, требуется сложить 2,078 + 0,75 + 13,5602. Подпишем эти числа друг под другом так, чтобы целые стояли под целыми, десятые под десятыми, сотые под сотыми и т.д.; при этом все запятые располагаются друг под другом:

Начинаем сложение с наименьших долей. От сложения десятитысячных долей получим 2; пишем эту цифру под чертой. От сложения тысячных получили 8; пишел5 8 под чертой. От сложения сотых получим 18; но 18 сотых = 10 сотых + 8 сотых; десять сотых составляют одну десятую; запомним ее, чтобы приложить к десятым долям слагаемых, а 8 сотых напишем под чертой. Продолжаем так действие до конца. Запятая в сумме стоит под запятыми в слагаемых.

Вычитание десятичных дробей

§ 167. Вычитание десятичных дробей производится так же, как и вычитание целых чисел. Пусть, например, требуется сделать вычитание: 5,709 – 0,3078.

Подпишем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы единицы одного названия стояли друг под другом:

Чтобы вычесть последнюю цифру вычитаемого, возьмем из 9 тысячных 1 тысячную и раздробим ее в десятитысячные; получим 10 десятитысячных. Значит, цифру 8 вычитаемого надо вычесть из 10, а цифру 7 – из 8.

Так же производится вычитание десятичной дроби из целого числа; например:

Берем от 3 единиц одну и раздробляем ее в десятые; от них берем одну и раздробляем ес в сотые; от сотых берем 1 сотую и раздробляем ее в тысячные. От этого вместо 3 целых получим: 2 целых 9 десятых 9 сотых и 10 тысячных. Значит, цифру 3 вычитаемого придется вычесть из 10, цифры 7 и 8 – из 9, а цифру 1 – из 2.

Умножение десятичных дробей

§ 168. Рассмотрим два случая: первый – когда один из сомножителей целое число, второй, – когда оба сомножителя десятичные дроби.

1) 3,085 · 23; 2) 8,375 · 2,56.

Если бы в этих примерах мы изобразили десятичные дроби при помощи числителя и знаменателя и произвели действие по правилу умножения обыкновенных дробей, то, получили бы:
Правило . Чтобы умножить десятичные дроби, достаточно, не обращая внимания на запятые, перемножить их как целые числа и в произведении отделить запятой с правой стороны столько десятичных знаков, сколько их во множимом и во множителе вместе.

Действие лучше всего располагать так:

mthm.ru

Умножение и деление десятичных дробей

20 августа 2011

На прошлом уроке мы научились складывать и вычитать десятичные дроби (см. урок «Сложение и вычитание десятичных дробей»). Заодно оценили, насколько упрощаются вычисления по сравнению с обычными «двухэтажными» дробями.

К сожалению, с умножением и делением десятичных дробей подобного эффекта не возникает. В некоторых случаях десятичная запись числа даже усложняет эти операции.

Для начала введем новое определение. Мы будем встречаться с ним довольно часто, и не только на этом уроке.

Значащая часть числа — это все, что находится между первой и последней ненулевой цифрой, включая концы. Речь идет только о цифрах, десятичная точка не учитывается.

Цифры, входящие в значащую часть числа, называются значащими цифрами . Они могут повторяться и даже быть равными нулю.

Например, рассмотрим несколько десятичных дробей и выпишем соответствующие им значащие части:

  • 91,25 → 9125 (значащие цифры: 9; 1; 2; 5);
  • 0,008241 → 8241 (значащие цифры: 8; 2; 4; 1);
  • 15,0075 → 150075 (значащие цифры: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
  • 0,0304 → 304 (значащие цифры: 3; 0; 4);
  • 3000 → 3 (значащая цифра всего одна: 3).
  • Обратите внимание: нули, стоящие внутри значащей части числа, никуда не деваются. Мы уже сталкивались с чем-то подобным, когда учились переводить десятичные дроби в обычные (см. урок «Десятичные дроби»).

    Этот момент настолько важен, а ошибки здесь допускают так часто, что в ближайшее время я опубликую тест на эту тему. Обязательно потренируйтесь! А мы, вооружившись понятием значащей части, приступим, собственно, к теме урока.

    Операция умножения состоит из трех последовательных шагов:

  • Для каждой дроби выписать значащую часть. Получатся два обычных целых числа — без всяких знаменателей и десятичных точек;
  • Умножить эти числа любым удобным способом. Напрямую, если числа невелики, или столбиком. Получим значащую часть искомой дроби;
  • Выяснить, куда и на сколько разрядов сдвигается десятичная точка в исходных дробях для получения соответствующей значащей части. Выполнить обратные сдвиги для значащей части, полученной на предыдущем шаге.
  • Еще раз напомню, что нули, стоящие по бокам от значащей части, никогда не учитываются. Игнорирование этого правила приводит к ошибкам.

    Задача. Найдите значение выражения:

    Работаем с первым выражением: 0,28 · 12,5.

  • Выпишем значащие части для чисел из этого выражения: 28 и 125;
  • Их произведение: 28 · 125 = 3500;
  • В первом множителе десятичная точка сдвинута на 2 цифры вправо (0,28 → 28), а во второй — еще на 1 цифру. Итого нужен сдвиг влево на три цифры: 3500 → 3,500 = 3,5.
  • Теперь разберемся с выражением 6,3 · 1,08.

  • Выпишем значащие части: 63 и 108;
  • Их произведение: 63 · 108 = 6804;
  • Снова два сдвига вправо: на 2 и 1 цифру соответственно. Всего — снова 3 цифры вправо, поэтому обратный сдвиг будет на 3 цифры влево: 6804 → 6,804. В этот раз нулей на конце нет.
  • Добрались до третьего выражения: 132,5 · 0,0034.

    1. Значащие части: 1325 и 34;
    2. Их произведение: 1325 · 34 = 45 050;
    3. В первой дроби десятичная точка уходит вправо на 1 цифру, а во второй — на целых 4. Итого: 5 вправо. Выполняем сдвиг на 5 влево: 45 050 → ,45050 = 0,4505. В конце убрали ноль, а спереди — дописали, чтобы не оставлять «голую» десятичную точку.
    4. Следующее выражение: 0,0108 · 1600,5.

    5. Пишем значащие части: 108 и 16 005;
    6. Умножаем их: 108 · 16 005 = 1 728 540;
    7. Считаем цифры после десятичной точки: в первом числе их 4, во втором — 1. Всего — снова 5. Имеем: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. В конце убрали «лишний» ноль.
    8. Наконец, последнее выражение: 5,25 · 10 000.

    9. Значащие части: 525 и 1;
    10. Умножаем их: 525 · 1 = 525;
    11. В первой дроби выполнен сдвиг на 2 цифры вправо, а во второй — на 4 цифры влево (10 000 → 1,0000 = 1). Итого 4 − 2 = 2 цифры влево. Выполняем обратный сдвиг на 2 цифры вправо: 525, → 52 500 (пришлось дописать нули).
    12. Обратите внимание на последний пример: поскольку десятичная точка перемещается в разных направлениях, суммарный сдвиг находится через разность. Это очень важный момент! Вот еще пример:

      Рассмотрим числа 1,5 и 12 500. Имеем: 1,5 → 15 (сдвиг на 1 вправо); 12 500 → 125 (сдвиг на 2 влево). Мы «шагаем» на 1 разряд вправо, а затем — на 2 влево. В итоге, мы шагнули на 2 − 1 = 1 разряд влево.

      Деление десятичных дробей

      Деление — это, пожалуй, самая сложная операция. Конечно, здесь можно действовать по аналогии с умножением: делить значащие части, а затем «двигать» десятичную точку. Но в этом случае возникает много тонкостей, которые сводят на нет потенциальную экономию.

      Поэтому давайте рассмотрим универсальный алгоритм, который чуть-чуть длиннее, но намного надежнее:

    13. Перевести все десятичные дроби в обычные. Если немного потренироваться, на этот шаг у вас будут уходить считанные секунды;
    14. Разделить полученные дроби классическим способом. Другими словами, умножить первую дробь на «перевернутую» вторую (см. урок «Умножение и деление числовых дробей»);
    15. Если возможно, результат снова представить в виде десятичной дроби. Этот шаг тоже выполняется быстро, поскольку зачастую в знаменателе уже стоит степень десятки.
    16. Считаем первое выражение. Для начала переведем оби дроби в десятичные:

      Аналогично поступим со вторым выражением. Числитель первой дроби снова разложится на множители:

      В третьем и четвертом примерах есть важный момент: после избавления от десятичной записи возникают сократимые дроби. Однако мы не будем выполнять это сокращение.

      Последний пример интересен тем, что в числителе второй дроби стоит простое число. Здесь просто нечего разлагать на множители, поэтому считаем «напролом»:

      Иногда в результате деления получается целое число (это я про последний пример). В таком случае третий шаг вообще не выполняется.

      Кроме того, при делении часто возникают «некрасивые» дроби, которые нельзя перевести в десятичные. Этим деление отличается от умножения, где результаты всегда представимы в десятичной форме. Разумеется, в таком случае последний шаг опять же не выполняется.

      Обратите также внимание на 3-й и 4-й примеры. В них мы намеренно не сокращаем обычные дроби, полученные из десятичных. Иначе это усложнит обратную задачу — представление конечного ответа снова в десятичном виде.

      Запомните: основное свойство дроби (как и любое другое правило в математике) само по себе еще не означает, что его надо применять везде и всегда, при каждом удобном случае.

      www.berdov.com