Математический маятник законы колебания

Математический маятник законы колебания

2.3. Свободные колебания. Математический маятник

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. В положении равновесия, когда маятник висит по отвесу, сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити При отклонении маятника из положения равновесия на некоторый угол φ появляется касательная составляющая силы тяжести F τ = – mg sin φ (рис. 2.3.1). Знак «минус» в этой формуле означает, что касательная составляющая направлена в сторону, противоположную отклонению маятника.

Если обозначить через x линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l , то его угловое смещение будет равно φ = x / l . Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:

Это соотношение показывает, что математический маятник представляет собой сложную нелинейную систему, так как сила, стремящаяся вернуть маятник в положение равновесия, пропорциональна не смещению x , а

Только в случае малых колебаний , когда приближенно можно заменить на математический маятник является гармоническим осциллятором , т. е. системой, способной совершать гармонические колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15–20° ; при этом величина отличается от не более чем на 2 % . Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.

Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде

Таким образом, тангенциальное ускорение a τ маятника пропорционально его смещению x , взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:

Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника .

Любое тело, насаженное на горизонтальную ось вращения, способно совершать в поле тяготения свободные колебания и, следовательно, также является маятником. Такой маятник принято называть физическим (рис. 2.3.2). Он отличается от математического только распределением масс. В положении устойчивого равновесия центр масс C физического маятника находится ниже оси вращения О на вертикали, проходящей через ось. При отклонении маятника на угол φ возникает момент силы тяжести, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия:

Здесь d – расстояние между осью вращения и центром масс C .

Знак «минус» в этой формуле, как обычно, означает, что момент сил стремится повернуть маятник в направлении, противоположном его отклонению из положения равновесия. Как и в случае математического маятника, возвращающий момент M пропорционален sin φ . Это означает, что только при малых углах φ , когда sin φ ≈ φ , физический маятник способен совершать свободные гармонические колебания. В случае малых колебаний

Здесь ω0 – собственная частота малых колебаний физического маятника .

Более строгий вывод формул для ω0 и T можно сделать, если принять во внимание математическую связь между угловым ускорением и угловым смещением: угловое ускорение ε есть вторая производная углового смещения φ по времени:

Поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для физического маятника, можно записать в виде

Это уравнение свободных гармонических колебаний (см. уравнение (*) §2.2). Коэффициент в этом уравнении имеет смысл квадрата круговой частоты свободных гармонических колебаний физического маятника.

По теореме о параллельном переносе оси вращения (теорема Штейнера) момент инерции I можно выразить через момент инерции I C относительно оси, проходящей через центр масс C маятника и параллельной оси вращения:

Окончательно для круговой частоты ω0 свободных колебаний физического маятника получается выражение:

physics.ru

Законы колебания математического маятника

Количественные соотношения, характеризующие колебательное движение, проще всего установить г для так называемого математического маятника.

Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на тонкой нерастяжимой и невесомой нити. Естественно, что на практике мы можем только с той или иной степенью точности приближаться к этому идеальному случаю. Реальной моделью математического маятника в наших опытах служит небольшой металлический шарик, подвешенный на тонкой упругой нити. Размеры шарика должны быть малы сравнительно с длиной нити. Это даёт возможность считать, что вся его масса сосредоточена в одной точке, в центре тяжести шарика.

Подвесим к стойке один из таких маятников длиной около 1 м и, отведя его от положения равновесия на небольшой угол, определим, за какое время он сделает, например, 50 колебаний.

Уменьшим угол отклонения (начальную амплитуду) и снова определим время, в течение которого шарик сделает 50 колебаний.

Оказывается, что и при уменьшенной амплитуде шарику понадобилось для 50 колебаний то же время, что и при большей амплитуде. Меняя в небольших пределах амплитуду колебаний маятника, можно установить, что период колебания маятника при больших амплитудах не зависит от амплитуды колебания.

Это свойство маятника, открытое впервые Галилеем, называется изохронностью. Оно, как мы увидим дальше, дало возможность применить маятник в часах.

Подвесим к стойке на длинных нитях два одинаковых шарика 2, сделанных из разных материалов, например стальной и свинцовый, так, чтобы длины полученных маятников были одинаковы.

Отклоним оба маятника от положения равновесия на один и тот же угол. Они колеблются синхронно, т. е. периоды колебания их одинаковы, хотя массы маятников разные. Меняя как угодно массы маятников, можно убедиться, что период колебания не зависит от массы маятника.

Проделаем ещё один опыт, подвесив к стойке несколько одинаковых шариков на нитях разной длины. Приведя в колебание маятники, заметим, что периоды колебаний их будут различны: чем меньше длина маятника, тем меньше период его колебаний.

Голландский учёный Гюйгенс, исследуя законы колебания маятника, установил, что период колебания математического маятника прямо пропорционален корню квадратному из длины маятника и обратно пропорционален корню квадратному из ускорения силы тяжести:

где l – длина маятника, g – ускорение силы тяжести.

Маятник – наиболее простой, удобный и точный прибор для определения ускорения силы тяжести.

Наличие в каком-нибудь месте Земли залежей ископаемых, отличающихся по плотности от окружающих их пород, сказывается на изменении величины ускорения g в этом месте. Действительно, ускорение g обусловлено силой тяготения, а последняя будет тем больше, чем больше притягивающая масса Земли. На этом основано широкое использование маятника в приборах, применяемых в геологических разведках. По измерению периода колебания маятника Т в данном месте вычисляют величину g. Если она оказывается, например, больше нормальной, то, значит, в этом месте сосредоточены породы большей плотности, и, наоборот, в местах, где залегают менее плотные породы, ускорение g оказывается меньше нормального.

Разрешено частичное копирование статей с обязательной ссылкой на источник

scibio.ru

Математический маятник. Период колебаний математического маятника

Презентация к уроку

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Аннотация:

Урок является первым в тематическом блоке: “Механические колебания и волны”. Особенностью данного урока является широкое использование дидактического материала в виде презентации, физического и компьютерного эксперимента, что позволяет учащимся более легко усвоить предлагаемый учебный материал. Применение подобных методов позволяет показать процессы в динамике, что дает ученикам более четкое представление о происходящих процессах колебания. Использование презентации дает возможность компактно излагать учебный материал, что позволяет больше времени уделить на закрепление пройденного.

В процессе урока учащиеся выдвигают гипотезы и самостоятельно проверяют их в процессе выполнения лабораторных и компьютерных экспериментов. Форма проведения урока активизирует познавательную деятельность учащихся, формирует навыки самостоятельной работы над решением поставленной проблемы. Данный урок носит практическую направленность.

Дидактическая цель урока:

Определение учащимися математического маятника как модели для изучения колебательного движения

Образовательные задачи урока:

  • формирование понятий: колебательные системы, математический маятник, период колебаний математического маятника;
  • Экспериментальным путем установить законы колебаний математического маятника.
  • рассмотреть причины и особенности колебаний математического маятника.

Воспитательные задачи:

  • ориентировать учащихся на выбор профессии, поддерживать интерес к предмету.
  • применение математических маятников в разных сферах.
  • Развивающие:

    • содействовать формированию навыков сравнения, выделения главного и второстепенного в изучаемом материале, обобщения, логического мышления;
    • формировать экспериментальные навыки и умения.
    • Оборудование: компьютер, мультимедийное оборудование, экран, компьютерный эксперимент.

      Подготовка: группы учащихся готовят к уроку мини-презентации и эксперименты по темам:

      • Иллюстрация механических колебаний на примере маятника Фуко.
      • Физический эксперимент.
      • Компьютерная модель колебаний, созданная с помощью программы Macromedia Flash 5.
      • План урока:

          Оргмомент.
        1. Актуализация знаний по теме, мотивация учащихся на изучение новой темы.
        2. Изучение нового материала.
        3. Решение экспериментальных задач по теме (включая компьютерный эксперимент).
        4. Итоги урока.
        5. Домашнее задание.
        6. Проверка готовности учащихся к учебному занятию.

          II. Актуализация знаний учащихся, мотивация учащихся на изучение новой темы.

          Миллион Ури Геллера.

          Знаменитый экстрасенс Ури Геллер свой первый миллион доллар заработал, летая на самолёте на малой высоте над непроходимыми джунглями Бразилии, с маятником в руках. Он искал нефть, и нашёл её очень приличное количество.

          Любое ли тело может совершать колебательные движения? Что для этого необходимо? (Слайд 4)

          Учащиеся высказывают предположения, а учитель формулирует совместно с учащимися общий вывод.

          Мини-выводы данного этапа урока (комментирует учитель).

          Среди разнообразных видов механического движения особое место занимает колебательное. Колеблются маятник часов, поршень в цилиндре двигателя внутреннего сгорания, колос ржи на ветру. Звук и свет — это колебательный процесс. Переменный электрический ток, которым питается большинство потребителей в производстве и в быту, тоже колебательный процесс. Радиосвязь, телевидение, радиолокация осуществляются с помощью радиоволн, а они также являются колебательными процессом. Получается, что мы живём в колеблющемся мире. Ввиду чрезвычайной распространённости колебательных процессов в окружающем нас мире очень важно разобраться в разных видах колебаний и в законах, которые их характеризуют. Общность законов, описывающих колебания разной природы, — один из убедительнейших примеров единства материального мира, в котором, несмотря на необычайное разнообразие объектов, и явлений, есть нечто общее, прежде всего общие законы.

          Ученый Л.И. Мандельштам говорил, что если посмотреть историю физики, то можно увидеть, что главные открытия были связаны по существу с колебаниями. Нам тоже сегодня предстоят открытия.

          Таким образом, цель нашего урока – проанализировать причины и основные закономерности колебаний математического маятника.

          II. Изучение нового материала.

          1. Механические колебания (Представление учащимися опережающих заданий: презентация к теме, эксперимент)

          1.1. Первый учащийся рассказывает об иллюстрации механических колебаний на примере маятника Фуко Мини-презентация (Слайд 5-6)

          1.2. Второй учащийся проводит эксперимент, повторяя опыты Фуко, делая микровыводы из результатов (Слайд 7-8)

          1.3. Учитель обобщает выступления учащихся:

          • и предлагается им самостоятельно сформулировать определение математического маятника (затрудняющимся предлагается воспользоваться учебником и найти определение самостоятельно) (Слайд 9)
          • сообщает теоретические сведения о математическом маятнике (Слайд 10)
          • Слова учителя (комментарий к сказанному): Реальной моделью математического маятника в наших опытах будет служить небольшой шарик, подвешенный на тонкой упругой нити. Размеры шарика должны быть малы по сравнению с длиной нити. Это дает возможность считать, что вся масса сосредоточена в одной точке, в центре тяжести шарика.

            1.4. Мини-презентация о Галилее (из выступления третьего учащегося).

            Галилео Галилей – великий итальянский ученый – один из создателей точного естествознания, всю свою жизнь посвятил физике и астрономии, сделав ряд важных открытий. Родился в городе Пизе, известном своей наклонной башней. Учился сначала в монастырской школе, а затем в университете. Уже в студенческие годы Галилей увлекся изучением колебаний. Он обнаружил, что колебания маятника не зависят от его массы, а определяются длиной подвеса. Сохранилось предание о том, как молодой студент медицинского факультета Галилео Галилей в одно из воскресений 1583 года с интересом следил за качаниями зажженных лампад в церкви. По ударам пульса он определил время, необходимое для полного размаха лампад. С этого времени медицину пришлось ему оставить и сосредоточиться на физике.

            2. Подготовка восприятия учащихся к физическому эксперименту, его проведение.

            Учитель: Выясним, от чего зависит период колебания маятника, движущегося вблизи положения устойчивого равновесия.

            2.1. Работа в группах.(Вывод делает спикер каждой группы).

            • Задание 1 группе: Выяснить опытным путем, зависит ли период колебания математического маятника от его массы.
            • Задание 2 группе: Выяснить, зависит ли период колебания маятника от длины маятника.
            • Ученики работают над заданиями, затем каждая группа отчитывается о проделанной работе:

              • Вывод группы 1: Период колебаний математического маятника не зависит от массы шарика.
              • Вывод группы 2: Период колебаний математического маятника зависит от его длины, с увеличением длины возрастает период.

              2.2. Учащиеся совместно с учителем формулируют общий вывод:

              Период колебания математического маятника прямо пропорционален длине маятника и обратно пропорционален ускорению свободного падения.

              2.3. Выступление учащегося с компьютерной моделью, созданной с использованием программы Macromedia Flash 5.

              2.4. Выступление учащегося с мини-презентацией:

              Голландский ученый Гюйгенс, исследуя законы колебания маятника, пришел к такому же выводу.

              Христиан Гюйгенс – голландский физик, математик, механик и астроном. Родился в Гааге. Обучался в Лейденском университете юридическим наукам, но не прекращал занятия математикой. Опираясь на исследования Галилея, он решил ряд задач механики. В 1656 году в возрасте 27 лет им были сконструированы первые маятниковые часы со спусковым механизмом. Создание часов, измеряющих время с невиданной для той поры точностью, имело далеко идущие последствия для развития физического эксперимента и практической деятельности человека. До этого ведь время измеряли по истечению воды, горению факела или свечи. Созданная Гюйгенсом к 1673 году теория колебаний явилась одним из оснований для понимания потом природы света. (Слайд 17-18)

              Слова учителя (комментарий): Чтобы выяснить зависимость периода колебания от ускорения свободного падения, можно искусственно увеличить тяготение к Земле, но мы это не можем. Самое простое – добавить к силе тяготения другую силу, например, магнитную, для чего поместим под маятник электромагнит. Тогда эти силы сообщат маятнику ускорение больше, чем ускорение свободного падения, что приведет к изменению периода колебаний. (Слайд 19)

              3. Первичная проверка усвоения материала.

              Тестовое задание с взаимопроверкой. (Слайд 20)

              1) Увеличится в 2 раза.
              2) Уменьшится в 2 раза.
              3) Не изменится.

              2. Как изменится период колебаний математического маятника, если длину нити увеличить в 1,5 раза?

              1) Уменьшится в 1,2 раза.
              2) Увеличится в 1,2 раза.
              3) Не изменится.

              3. При колебаниях математического маятника груз проходит путь от правого крайнего положения до положения равновесия за 0,7 с. Каков период колебаний маятника?

              2. Как изменится период колебаний математического маятника, если длину нити уменьшить в 2 раза?

              1) Уменьшится в 1,4 раза.
              2) Увеличится в 1,4 раза.
              3) Не изменится.

              3. При колебаниях математического маятника груз проходит путь от левого крайнего положения до положения равновесия за 0,5 с. Каков период колебаний маятника?

              4. Применение математического маятника.

              Мини-презентация учащегося по теме. (Слайд 21- 24)

              V. Домашнее задание:

              Параграфы 24, 25; задание 22 (1,2), задание 23 (2,4) (Слайд 26)

              Не то, что мните вы, природа:
              Не слепок, не бездушный лик.
              В ней есть душа, в ней есть свобода,
              В ней есть любовь, в ней есть язык.

              Узнаются слова Ф.Тютчева.

              Язык Природы – это язык предметов и явлений, и “беседовать” с Природой можно только на этом языке. Физик видит то, что видят все: предметы и явления. Он, так же как все восхищается красотой и величием мира, но за этой, всем доступной красотой, ему открывается еще одна: красота закономерностей в бесконечном разнообразии вещей и событий. Физику доступна редкая радость – понимать Природу и даже беседовать с ней.

              Список используемой литературы.

              1. Н.С. Пурышева, Н. Е. Важеевская, В. М. Чаругин. Физика. 9 кл.: — М.: Дрофа, 2011.
              2. Гулиа Н.В. Парадоксальная механика в вопросах и ответах. – М.: Изд – во НЦ ЭНАС, 2004.
              3. Физика: Занимательные материалы к урокам. 9 кл./ Авт. – составитель А.И. Сёмке. – М.: Изд – во НЦ ЭНАС, 2006.
              4. Кирик Л.А. Физика — 9. Методические материалы. М.: Илекса, 2010.

              xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

              7.5. Математический и физический маятники

              Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

              Таким маятником можно считать тяжелый шар массой m, подвешенный на тонкой нити, длина l которой намного больше размеров шара. Если его отклонить на угол α (рис.7.3.) от вертикальной линии, то под влиянием силы F – одной из составляющих веса Р он будет совершать колебания. Другая составляющая , направленная вдоль нити, не учитывается, т.к. уравновешивается силой натяжения нити. При малых углах смещения и, тогда координату х можно отсчитывать по горизонтальному направлению. Из рис.7.3 видно, что составляющая веса, перпендикулярная нити, равна

              Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α

              Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения

              Момент силы относительно точки О: , и момент инерции:
              M = FL .
              Момент инерции J в данном случае
              Угловое ускорение:

              С учетом этих величин имеем:

              Его решение
              ,

              Как видим, период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний.

              Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной.

              При небольших углах отклонения α (рис. 7.4) физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.

              . Момент силы: определить в явном виде нельзя. С учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение колебаний физического маятника имеет вид:

              physics-lectures.ru

              Формулы математического маятника

              Определение и формулы математического маятника

              Математический маятник — это колебательная система, являющаяся частным случаем физического маятника, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.

              Обычно математический маятник представляют как шарик, подвешенный на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая гармонические колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику массивный маленький шарик, осуществляющий колебания на тонкой длинной нити.

              Галилей первым изучал свойства математического маятника, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Он получил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будут происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.

              Уравнение движения математического маятника

              Математический маятник — классический пример гармонического осциллятора. Он совершает гармонические колебания, которые описываются дифференциальным уравнением:

              где $\varphi $ — угол отклонения нити (подвеса) от положения равновесия.

              Решением уравнения (1) является функция $\varphi (t):$

              где $\alpha $ — начальная фаза колебаний; $<\varphi >_0$ — амплитуда колебаний; $<\omega >_0$ — циклическая частота.

              Колебания гармонического осциллятора — это важный пример периодического движения. Осциллятор служит моделью во многих задачах классической и квантовой механики.

              Циклическая частота и период колебаний математического маятника

              Циклическая частота математического маятника зависит только от длины его подвеса:

              Период колебаний математического маятника ($T$) в этом случае равен:

              Выражение (4) показывает, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.

              Уравнение энергии для математического маятника

              При рассмотрении колебаний механических систем с одной степенью свободы часто берут в качестве исходного не уравнения движения Ньютона, а уравнение энергии. Так как его проще составлять, и оно является уравнением первого порядка по времени. Предположим, что трение в системе отсутствует. Закон сохранения энергии для совершающего свободные колебания математического маятника (колебания малые) запишем как:

              где $E_k$ — кинетическая энергия маятника; $E_p$ — потенциальная энергия маятника; $v$ — скорость движения маятника; $x$ — линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса $l$, при этом угол — смещение связан с $x$ как:

              Максимальное значение потенциальной энергии математического маятника равно:

              Максимальная величина кинетической энергии:

              где $h_m$ — максимальная высота подъема маятника; $x_m$- максимальное отклонение маятника от положения равновесия; $v_m=<\omega >_0x_m$ — максимальная скорость.

              Примеры задач с решением

              Задание. Какова максимальная высота подъема шарика математического маятника, если его скорость движения при прохождении положения равновесия составляла $v$?

              Решение. Сделаем рисунок.

              Пусть ноль потенциальной энергии шарика в его положении равновесия (точка 0).В этой точке скорость шарика максимальна и равна по условию задачи $v$. В точке максимального подъема шарика над положением равновесия (точка A), скорость шарика равна нулю, потенциальная энергия максимальна. Запишем закон сохранения энергии для рассмотренных двух положений шарика:

              Из уравнения (1.1) найдем искомую высоту:

              Ответ. $h=\frac<2g>$

              Задание. Каково ускорение силы тяжести, если математический маятник имеющий длину $l=1\ м$, совершает колебания с периодом равным $T=2\ с$? Считайте колебания математического маятника малыми.\textit<>

              Решение. За основу решения задачи примем формулу для вычисления периода малых колебаний:

              Выразим из нее ускорение:

              Проведем вычисления ускорения силы тяжести:

              Ответ. $g=9,87\ \frac<м><с^2>$

              www.webmath.ru