Доказать законы дистрибутивности

Законы логики на уроках информатики и ИКТ

Урок по информатике рассчитан на учащихся 10-х классов общеобразовательной школы, в учебном плане которой входит раздел «Алгебра логики». Учащимся очень нелегко дается эта тема, поэтому мне, как учителю, захотелось заинтересовать их в изучении законов логики, упрощении логических выражений и с интересом подойти к решению логических задач. В обычной форме давать уроки по этой теме нудно и хлопотно, да и ребятам не всегда понятны некоторые определения. В связи с предоставлением информационного пространства, у меня появилась возможность выкладывать свои уроки в оболочке «learning». Учащиеся, зарегистрировавшись в ней, могут в свое свободное время посещать этот курс и перечитывать то, что было непонятно на уроке. Некоторые учащиеся, пропустив уроки по болезни, наверстывают дома или в школе пропущенную тему и всегда готовы к следующему уроку. Такая форма преподавания очень устроила многих ребят и те законы, которые им были непонятны, теперь в компьютерном виде ими усваиваются гораздо легче и быстрее. Предлагаю один из таких уроков информатики, который проводится интегративно с ИКТ.

  1. Объяснение нового материала, с привлечением компьютера – 25 минут.
  2. Основные понятия и определения, выложенные в «learning» — 10 минут.
  3. Материал для любознательных – 5 минут.
  4. Домашнее задание – 5 минут.
  5. 1. Объяснение нового материала

    Законы формальной логики

    Наиболее простые и необходимые истинные связи между мыслями выражаются в основных законах формальной логики. Таковыми являются законы тождества, непротиворечия, исключенного третьего, достаточного основания.

    Эти законы являются основными потому, что в логике они играют особо важную роль, являются наиболее общими. Они позволяют упрощать логические выражения и строить умозаключения и доказательства. Первые три из вышеперечисленных законов были выявлены и сформулированы Аристотелем, а закон достаточного основания — Г. Лейбницем.

    Закон тождества: в процессе определенного рассуждения всякое понятие и суждение должны быть тождественны самим себе.

    Закон непротиворечия: невозможно, чтобы одно и то оке в одно то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении. То есть невозможно что-либо одновременно утверждать и отрицать.

    Закон исключенного третьего: из двух противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано.

    Закон достаточного основания: всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснована.

    Последний закон говорит о том, что доказательство чего-либо предполагает обоснование именно и только истинных мыслей. Ложные же мысли доказать нельзя. Есть хорошая латинская пословица: «Ошибаться свойственно всякому человеку, но настаивать на ошибке свойственно только глупцу». Формулы этого закона нет, так как он имеет только содержательный характер. В качестве аргументов для подтверждения истинной мысли могут быть использованы истинные суждения, фактический материал, статистические данные, законы науки, аксиомы, доказанные теоремы.

    Законы алгебры высказываний

    Алгебра высказываний (алгебра логики) — раздел математической логики, изучающий логические операции над высказываниями и правила преобразования сложных высказываний.

    При решении многих логических задач часто приходится упрощать формулы, полученные при формализации их условий. Упрощение формул в алгебре высказываний производится на основе эквивалентных преобразований, опирающихся на основные логические законы.

    Законы алгебры высказываний (алгебры логики) — это тавтологии.

    Иногда эти законы называются теоремами.

    В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных формул. Среди законов особо выделяются такие, которые содержат одну переменную.

    Первые четыре из приведенных ниже законов являются основными законами алгебры высказываний.

    Всякое понятие и суждение тождественно самому себе.

    Закон тождества означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим. При нарушении этого закона возможны логические ошибки.

    Например, рассуждение Правильно говорят, что язык до Киева доведет, а я купил вчера копченый язык, значит, теперь смело могу идти в Киев неверно, так как первое и второе слова «язык» обозначают разные понятия.

    В рассуждении: Движение вечно. Хождение в школу — движение. Следовательно, хождение в школу вечно слово «движение» используется в двух разных смыслах (первое — в философском смысле — как атрибут материи, второе — в обыденном смысле — как действие по перемещению в пространстве), что приводит к ложному выводу.

    Не могут быть одновременно истинными суждение и его отрицание. То есть если высказывание А — истинно, то его отрицание не А должно быть ложным (и наоборот). Тогда их произведение будет всегда ложным.

    Именно это равенство часто используется при упрощении сложных логических выражений.

    Иногда этот закон формулируется так: два противоречащих друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными. Примеры невыполнения закона непротиворечия:

    1. На Марсе есть жизнь и на Марсе жизни нет.

    2. Оля окончила среднюю школу и учится в X классе.

    Закон исключенного третьего:

    В один и тот же момент времени высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Истинно либо А, либо не А. Примеры выполнения закона исключенного третьего:

    1. Число 12345 либо четное, либо нечетное, третьего не дано.

    2. Предприятие работает убыточно или безубыточно.

    3. Эта жидкость является или не является кислотой.

    Закон исключенного третьего не является законом, признаваемым всеми логиками в качестве универсального закона логики. Этот закон применяется там, где познание имеет дело с жесткой ситуацией: «либо — либо», «истина—ложь». Там же, где встречается неопределенность (например, в рассуждениях о будущем), закон исключенного третьего часто не может быть применен.

    Рассмотрим следующее высказывание: Это предложение ложно. Оно не может быть истинным, потому что в нем утверждается, что оно ложно. Но оно не может быть и ложным, потому что тогда оно было бы истинным. Это высказывание не истинно и не ложно, а потому нарушается закон исключенного третьего.

    Парадокс (греч. paradoxos — неожиданный, странный) в этом примере возникает из-за того, что предложение ссылается само на себя. Другим известным парадоксом является задача о парикмахере: В одном городе парикмахер стрижет волосы всем жителям, кроме тех, кто стрижет себя сам. Кто стрижет волосы парикмахеру? В логике из-за ее формальности нет возможности получить форму такого ссылающегося самого на себя высказывания. Это еще раз подтверждает мысль о том, что с помощью алгебры логики нельзя выразить все возможные мысли и доводы. Покажем, как на основании определения эквивалентности высказываний могут быть получены остальные законы алгебры высказываний.

    Например, определим, чему эквивалентно (равносильно) А (двойное отрицание А, т. е. отрицание отрицания А). Для этого построим таблицу истинности:

    По определению равносильности мы должны найти тот столбец, значения которого совпадают со значениями столбца А. Таким будет столбец А.

    Таким образом, мы можем сформулировать закон двойного отрицания:

    Если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получается исходное высказывание. Например, высказывание А = Матроскинкот эквивалентно высказыванию А = Неверно, что Матроскин не кот.

    Аналогичным образом можно вывести и проверить следующие законы:

    Сколько бы раз мы ни повторяли: телевизор включен или телевизор включен или телевизор включен . значение высказывания не изменится. Аналогично от повторения на улице тепло, на улице тепло. ни на один градус теплее не станет.

    Операнды А и В в операциях дизъюнкции и конъюнкции можно менять местами.

    A v(B v C) = (A v B) v C;

    А & (В & C) = (A & В) & С.

    Если в выражении используется только операция дизъюнкции или только операция конъюнкции, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять.

    A v (B & C) = (A v B) &(A v C)

    (дистрибутивность дизъюнкции
    относительно конъюнкции)

    А & (B v C) = (A & B) v (А & C)

    (дистрибутивность конъюнкции
    относительно дизъюнкции)

    Закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции ана­логичен дистрибутивному закону в алгебре, а закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции аналога не имеет, он справедлив только в логике. Поэтому необходимо его доказать. Доказательство удобнее всего провести с помощью таблицы истинности:

    Проведите доказательство законов поглощения самостоятельно.

    Словесные формулировки законов де Моргана:

    Мнемоническое правило: в левой части тождества операция отрицания стоит над всем высказыванием. В правой части она как бы разрывается и отрицание стоит над каждым из простых высказываний, но одновременно меняется операция: дизъюнкция на конъюнкцию и наоборот.

    Примеры выполнения закона де Моргана:

    1) Высказывание Неверно, что я знаю арабский или китайский язык тождественно высказыванию Я не знаю арабского языка и не знаю китайского языка.

    2) Высказывание Неверно, что я выучил урок и получил по нему двойку тождественно высказыванию Или я не выучил урок, или я не получил по нему двойку.

    Замена операций импликации и эквивалентности

    Операций импликации и эквивалентности иногда нет среди логических операций конкретного компьютера или транслятора с языка программирования. Однако для решения многих задач эти операции необходимы. Существуют правила замены данных операций на последовательности операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции.

    Так, заменить операцию импликации можно в соответствии со следующим правилом:

    Для замены операции эквивалентности существует два правила:

    В справедливости данных формул легко убедиться, построив таблицы истинности для правой и левой частей обоих тождеств.

    Знание правил замены операций импликации и эквивалентности помогает, например, правильно построить отрицание импликации.

    Рассмотрим следующий пример.

    Пусть дано высказывание:

    Е = Неверно, что если я выиграю конкурс, то получу приз.

    Пусть А = Я выиграю конкурс,

    В = Я получу приз.

    Отсюда, Е = Я выиграю конкурс, но приз не получу.

    Интерес представляют и следующие правила:

    Доказать их справедливость можно также с помощью таблиц истинности.

    Интересно их выражение на естественном языке.

    Если Винни-Пух съел мед, то он сыт

    Если Винни-Пух не сыт, то меда он не ел.

    Задание: придумайте фразы-примеры на данные правила.

    2. Основные понятия и определения в Приложении 1

    3. Материал для любознательных в Приложении 2

    4. Домашнее задание

    1) Выучить законы логики, используя курс «Алгебры логики», размещенный в информационном пространстве (www.learning.9151394.ru).

    2) Проверить на ПК доказательство законов де Моргана, построив таблицу истинности.

  6. Основные понятия и определения (Приложение 1).
  7. Материал для любознательных (Приложение 2).

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Доказательство

ЛЕКЦИЯ 1.2.

Свойства операций над множествами

Пусть Каковы бы ни были заданные подмножества универсума U, справедливы соотношения

1. Идемпотентность.

2. Коммутативность.

3. Ассоциативность.

Дистрибутивность.

2. Законы поглощения.

3. Свойства нуля.

4. Свойства единицы.

5. Инволютивность.

6. Законы де Моргана.

10. Свойства дополнения.

Доказательство этих равенств большей частью совершенно элементарно. Построим доказательства одного из законов дистрибутивности и одного из законов де Моргана.

Утверждение. .

Доказательство.

.

Пусть Þ

.

.

Утверждение. .

Доказательство.

, .

Законы коммутативности и ассоциативности легко распространяются на случай объединения (пересечения) любого конечного числа множеств. Именно, в какой бы последовательности не объединялись (пересекались) данные множества , в результате получится одно и тоже множество, которое обозначается . Объединение состоит из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из данных множеств (пересечение содержит те и только те элементы, которые входят во все множества одновременно).

Запишем обобщение законов дистрибутивности и де Моргана

Доказательство проводится, например, методом математической индукции.

studopedia.ru

Доказать законы дистрибутивности

Тема 3. Основы математической логики 1. Логические выражения и логические операции.
2. Построение таблиц истинности и логических функций.
3. Законы логики и преобразование логических выражений.
Лабораторная работа № 3. Основы математической логики.

3. Законы логики и правила преобразования логических выражений

Закон двойного отрицания (двойное отрицание исключает отрицание):

А = .

Переместительный (коммутативный) закон:

    для логического сложения: А Ú B = B Ú A;

    Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.

    Сочетательный (ассоциативный) закон:

      для логического сложения: (А Ú B) Ú C = A Ú (B Ú C);

      для логического умножения:(A & B) & C = A & (B & C).

      При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

      Распределительный (дистрибутивный) закон:

        для логического умножения:(A & B) Ú C = (A Ú C) & (B Ú C).

        Закон определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

        Закон общей инверсии (законы де Моргана):

          для логического сложения: = & ;

          для логического умножения: = Ú
          Закон идемпотентности (от латинских слов idem — тот же самый и potens — сильный; дословно — равносильный):

            для логического сложения: А Ú A = A;

            для логического умножения:A & A = A.

            Закон означает отсутствие показателей степени.

            для логического умножения:A & 1 = A, A & 0 = 0.

            A & = 0.

            Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.

            A Ú = 1.

            Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.

            для логического умножения:A & (A Ú B) = A.

          Знание законов логики позволяет проверять правильность рассуждений и доказательств. Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.

          Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), другие — основаны на свойствах, которыми не обладают операции обычной алгебры (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, де Моргана и др.).

          Нарушения законов логики приводят к логическим ошибкам и вытекающим из них противоречиям.

          Пример 1. Упростить формулу (А Ú В) & (А Ú С).

        • Аналогично предыдущему пункту вынесем за скобки высказывание А.
          A Ú B & A Ú B & C = A & (1 Ú B) Ú B & C = A Ú B & C.
        • Таким образом, мы доказали закон дистрибутивности.

          Всякую формулу можно преобразовать так, что в ней не будет отрицаний сложных высказываний — все отрицания будут применяться только к простым высказываниям.

          Пример 2. Упростить выражения так, чтобы в полученных формулах не содержалось отрицания сложных высказываний.

          Решение:

          umk.portal.kemsu.ru

          ДИСТРИБУТИВНОСТИ ЗАКОН

          Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия . Под редакцией Ф. В. Константинова . 1960—1970 .

          Смотреть что такое «ДИСТРИБУТИВНОСТИ ЗАКОН» в других словарях:

          закон дистрибутивности — (от англ. distribution распределение, размещение) общее название группы логических законов сходной структуры. Эти законы позволяют распределить одну логическую связь относительно другой. Полный 3. д. конъюнкции относительно дизъюнкции с… … Словарь терминов логики

          Разместительный закон — Дистрибутивность (от латинского distributivus «распределительный») свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве. Говорят, что две бинарные операции + и × удовлетворяют свойству дистрибутивности, если … Википедия

          Распределительный закон — Дистрибутивность (от латинского distributivus «распределительный») свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве. Говорят, что две бинарные операции + и × удовлетворяют свойству дистрибутивности, если … Википедия

          ДИСТРИБУТИВНОСТЬ — дистрибутивности закон, распределительность, некоторой операции относительно другой свойство пары бинарных алгебраических операций, выражающееся одним из тождеств: где , символы бинарных операций, а х, у, z предметные переменные. Если в множестве … Математическая энциклопедия

          АЛГЕБРА ЛОГИКИ — раздел математической логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логич. значений (истинности пли ложности), и логич. операций над ними. А. л. возникла в сер. 19 в. в трудах Дж. Буля (см. [1], [2]) и развилась затем в работах Ч … Математическая энциклопедия

          АЛГЕБРА ЛОГИКИ — система алгебраич. методов решения логич. задач, а также совокупность задач, решаемых такими методами. А. л. в узком смысле слова алгебраич. (табличное, матричное) построение классич. логики высказываний, в котором рассматриваются… … Философская энциклопедия

          АРИФМЕТИКА — искусство вычислений, производимых с положительными действительными числами. Краткая история арифметики. С глубокой древности работа с числами подразделялась на две различные области: одна касалась непосредственно свойств чисел, другая была… … Энциклопедия Кольера

          Дизъюнктивная нормальная форма — (ДНФ) в булевой логике нормальная форма, в которой булева формула имеет вид дизъюнкции конъюнкций литералов. Любая булева формула может быть приведена к ДНФ.[1] Для этого можно использовать закон двойного отрицания, закон де Моргана, закон… … Википедия

          ЛОГИКА КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ — логика, все законы к рой применимы в рассуждениях об объектах микромира и в частности об объектах, рассматриваемых в квантовой механике (отсюда и название этой логики). Обычная классич. логика не может служить логикой рассуждений о микрообъектах … Философская энциклопедия

          Конъюнктивная нормальная форма — (КНФ) в булевой логике нормальная форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов. Конъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем. Любая булева формула может быть приведена к… … Википедия

          dic.academic.ru

          § 3. Законы алгебры логики

          Итак, мы познакомились с понятием логического выражения и увидели, каким образом его строить по высказыванию на русском языке. Следующий шаг – изучение преобразований логических выражений.

          Логические выражения, зависящие от одних и тех же логических переменных, называются равносильными, если на любом наборе значений переменных они принимают одинаковое значение (`0` или `1`). В дальнейшем для обозначения равносильности логических выражений мы будем использовать знак равенства.

          это некоторые стандартные преобразования логических выражений, при которых сохраняется равносильность. Начнём с самых простых законов:

          1) Законы поглощения констант

          2) Законы поглощения переменных

          3) Законы идемпотентности

          4) Закон двойного отрицания

          5) Закон противоречия

          6) Закон исключённого третьего

          Приведённые законы ещё называют аксиомами алгебры логики. Истинность этих и всех последующих законов легко можно установить, построив таблицу истинности для левого и правого логического выражения.

          Переходим к группе законов, которые практически аналогичны законам алгебры чисел.

          7) Законы коммутативности

          Здесь стоит сделать замечание, что помимо конъюнкции и дизъюнкции свойством коммутативности также обладают эквивалентность и строгая дизъюнкция. Импликация – единственная из изучаемых операций, которая имеет два операнда и не обладает свойством коммутативности.

          8) Законы ассоциативности

          (x & y) & z = x & (y & z),

          (x`vv`y) `vv` z = x `vv` (y `vv` z);

          9) Законы дистрибутивности

          Первый из законов дистрибутивности аналогичен закону дистрибутивности в алгебре чисел, если конъюнкцию считать умножением, а дизъюнкцию – сложением. Второй же закон дистрибутивности отличается от алгебры чисел, поэтому рекомендуется обратить на него особое внимание и в дальнейшем использовать при решении задач на упрощение выражений.

          Кроме аксиом и алгебраических свойств операций ещё существуют особые законы алгебры логики.

          10) Законы де Моргана

          `bar(x & y)= barx vv bary` ,

          11) Загоны поглощения (не путать с аксиомами поглощения переменных нулём или единицей)

          Рассмотрим пример доказательства первого закона де Моргана при помощи построения таблицы истинности.

          Так как результирующие столбцы совпали, то выражения, стоящие в левой и правой частях закона, равносильны.

          В алгебре при решении задач на упрощение выражений большой популярностью пользовалась операция вынесения общего множителя за скобки. В алгебре логики эта операция также является легитимной, благодаря законам дистрибутивности и закону поглощения константы `1`. Продемонстрируем этот приём на простом примере: докажем первый закон поглощения, не используя таблицу истинности.

          Наше начальное выражение: x `vv` (x & y) . Выносим x за скобки и получаем следующее выражение:

          x &(1 `vv` y) . Используем закон поглощения переменной константой `1` и получаем следующее выражение: x & 1. И теперь используем закон поглощения константы и получаем просто x .

          В заключение, следует сказать несколько слов об операции импликации. Как уже отмечалось выше, импликация не обладает свойством коммутативности. Её операнды неравноправны, поэтому каждый из них имеет уникальное название. Левый операнд импликации называется посылкой, а правый – следствием. Из таблицы истинности импликации следует, что она истинна, когда истинно следствие, либо ложна посылка. Единственный случай, когда импликация ложна – это случай истинной посылки и ложного следствия. Таким образом, мы подошли к последнему закону алгебры логики, который бывает полезен при упрощении выражений.

          12) Закон преобразования импликации

          Необходимо ещё отметить, что в сложных логических выражениях у операций есть порядок приоритетов.

          3) Дизъюнкция, строгая дизъюнкция, эквивалентность

          zftsh.online